Je le jure.

Jurer=Promettre

1° dire des blasphèmes
2° proférer des jurons.
3° promettre quelque chose à quelqu'un par un serment.
4° ne pas aller avec, être discordant.

Le fait de lever la main droite pour dire je le jure, tout comme le fait de poser cette même main sur la Bible encore une fois pour jurer, tient ses origines des croyances Chrétiennes.

Il n'y a pas si longtemps, chez les Chrétiens Catholiques, la main droite était signe de bonté, de logique et de positivisme, tandis que la main gauche était surnomméé "La main du Diable".

Nous sommes héritiers de l'Antiquité sur bien des points.
La gauche en latin se dit ''sinistra'', avec tout le symbolique ''sinistre'', de mauvaise augure qui va avec.
La droite, est la place d'honneur (y compris au Moyen-Orient Ancien, où siéger à la droite du chef de famille, de clan, etc... est un honneur).
Tout ce qui est à gauche est gauche... C'est peu adroit, mais c'est comme ça !
Ainsi, donc, si je lève la main gauche, c’est de mauvais augure, voire de mauvaise foi...
le Christianisme a ensuite adopté la symbolique romaine droite-gauche, avec d'autant plus de facilité que le judaïsme ancien associait aussi le côté droit au côté honorifique.
Les expressions et usages liés à la gauche et la droite ont donc naturellement découlé de ces a priori, jusqu'à lever la main droite (parfois sur la Bible) pour jurer au tribunal.
source:diverses